Великая математическая война. Как три блестящих ума сражались за основания математики - Джейсон Сократ Барди Страница 85

доказано только если оно, по сути, само является ложью. Но так как мы начинаем с предпосылки, что это истинное утверждение, мы знаем, что это не так. Тогда, поскольку утверждение истинно по определению и оно утверждает, что не может быть доказано, это показывает, что классическая математика неполна. Почему? Потому что она содержит по крайней мере одно утверждение P, для которого ни P, ни ¬P (не-P) не могут быть формально доказаны. По сути, это и есть идея того, что станет известно как теорема Гёделя о неполноте, которая принесет ему вечную славу. Он также разрабатывает вторую теорему о неполноте, которая гласит, что, если система непротиворечива, ее непротиворечивость не может быть доказана с использованием ее же собственных средств.

Результаты Гёделя становятся полным шоком. Никто и не подозревал, что можно фактически доказать существование неразрешимых проблем. И его формулировка неполноты – это момент исключительной важности в трехтысячелетней истории логики. Некоторые называют его самым важным логиком со времен Аристотеля (хотя то же самое иногда говорят о Расселе, а до него – о Фреге).

В последующие дни и недели быстро распространяются слухи о революционном открытии. «Что происходит с г-ном Гёделем? – пишет немецкий философ Генрих Шольц другу Гёделя Карнапу в начале 1931 года. – Я слышу всякие волнующие вещи, но не могу понять, в чем суть».

Он не одинок. Какой бы масштабной и гениальной ни была работа Гёделя, она также «очень запутанная и трудная для понимания», по словам британского философа Дж. Р. Лукаса в 1961 году. Формальный протокол встречи в Кёнигсберге упоминает о словах Гёделя лишь вскользь, несомненно, потому, что их значимость в тот момент не была оценена по достоинству. Но по мере того, как весть разносится, а месяцы идут, люди начинают обдумывать, изучать и неохотно, пусть и с недоумением, принимать его работу. Она в высшей степени технична, использует причудливые методы и приходит к ошеломляющим, радикальным и неожиданным выводам – настолько, что одни встречают неполноту с подозрением и ужасом. Других же просто тошнит.

«Поразительный и обескураживающий»

Две теоремы Гёделя, по сути, ставят крест на идее Гильберта «Мы можем знать и будем знать». Они сдувают пафос формализма и разбивают надежды логицизма обеспечить математике надежный фундамент. Неполнота, вкратце, убивает кризис оснований и завершает спор смятением и бесславием. Великая математическая война на самом деле не выиграна – она проиграна. Потеряна способность доказывать все сущее под математическим солнцем. Потеряно обещание логицизма найти логические корни математики. И превыше всего – потерян интерес к этим основаниям.

Интерес к основаниям математики как к теме – не говоря уже о дебатах, составлявших суть Великой математической войны, – угасает после работ Гёделя. Кризис оснований сходит на нет. Не то чтобы люди просто забыли о предмете, скорее, им стало все равно. Многие разочаровываются во всей этой теме после выхода статьи Гёделя в 1931 году. «Математики в целом в отчаянии махнули рукой и отвернулись от философии математики», – скажет 50 лет спустя известный голландско-американский математик Эрнст Снаппер.

Результаты Гёделя – это не просто последние гвозди в крышку гроба споров об основаниях математики. Это и гвоздь, и гроб, и покойник, и катафалк, и водитель, и поминки, и могила, и надгробие, и могильщик, и сырая земля, и промокший от слез платок, утирающий скорбный глаз, и прощальная речь, и некролог, выходящий в газете на следующий день.

Результат «поразительный и обескураживающий», – скажут Нагель и Ньюман, описывая конец дебатов об основаниях 25 лет спустя в своей авторитетной небольшой книге «Теорема Гёделя». Философский груз неполноты действует удушающе. «Ни о какой окончательной систематизации многих важнейших разделов математики не может быть и речи, и нельзя дать решительно никаких надежных гарантий того, что многие важные области математики полностью свободны от внутренних противоречий», – напишут они.

Эти печальные результаты, конечно, делают будущее Гёделя блестящим. Принстонский университет пригласит его через несколько лет. После Второй мировой войны он удостоится самой первой премии Альберта Эйнштейна. Гарвардский университет наградит его почетной докторской степенью за «открытие самого значительного математического результата этого столетия». А спустя десятилетия после его смерти, в конце XX века, журнал Time включит Гёделя в список 20 величайших мыслителей и ученых прошедшего столетия. Некоторые утверждают, что концепция, лежащая в основе цифрового компьютера, обязана своим появлением Гёделю. «Возникла огромная индустрия, основанная на логических алгоритмах», – напишет британский математик Эндрю Ходжес в 2008 году. И так далее, и тому подобное.

* * *

Гений Гёделя будет пользоваться всеобщим признанием и славой до самой его смерти – хотя его странности тоже часто отмечают. (Например, он маниакальный ипохондрик и страдает от поразительного, странного и разрушительного бреда: уверенности, что кто-то пытается его отравить.) Несмотря на всю его будущую паранойю «кто-то-точно-хочет-меня-убить», результаты Гёделя 1930 года становятся ослепительно ярким светом его собственного будущего – хотя они навсегда омрачат уход Давида Гильберта на покой. Никто не ощущает разочарования острее, чем Гильберт. Услышав о выводах Гёделя, он приходит в ярость. Он раздавлен. И не он один.

«Мнение о том, что программа Гильберта мертва и похоронена, стало практически всеобщим», – напишет 75 лет спустя финский философ Пану Раатикайнен.

Неисправимый оптимист, Гильберт продолжает трудиться, невзирая на болезнь и отставку, даже после публикации результатов Гёделя, в бесплодной попытке доказать непротиворечивость всей математики. Он думает, что, возможно, его программу можно модифицировать, чтобы избежать последствий теоремы Гёделя. Он меняет подход в надежде утвердить основания математики иным способом. Но он уже в отставке. И более того, он устал.

И все же его гнев понятен. Чем старше я становлюсь, тем легче мне понять психологию сердитого старика. Друзья, даже близкие, исчезают или отдаляются. Возможно, тем лучше, ведь встречи с ними лишь напоминали бы вам об их проявляющихся недостатках. Даже лучшие друзья подводят. Некоторые умирают трагически. Некоторые растворяются, как старые снимки, оставляя вас с разводами сепии или темными пятнами проявителя на ваших архивных воспоминаниях: дни славы давно ушли. Ваши собственные идеи и все ваши амбиции тоже блекнут. Здоровье угасает. Может быть, появляется хромота. Одышка. Прострел в спине. Больное сердце. Подагра! Что бы это ни было, с возрастом ваше тело превращается в злобный мешок лжи – горькую суму, которая должна хранить здоровье ваших лучших дней, но теперь несет лишь хроническую боль. Старение – это мешок с сюрпризами, полный жестоких, холодных физических оскорблений во все более чуждом, лишенном друзей и психологически надломленном мире. Неудивительно, что старики чувствуют гнев. Удивительно, что они вообще что-то чувствуют!

Гнев Гильберта нестерпимо жгуч. Благодаря Гёделю он видит, как флотилия его жизненных амбиций не просто выброшена на берег, но вдребезги разбита о