Великие ученые древности. Семь греческих мудрецов, или Заря наук - Луи Фигье Страница 66

без помощи чертежей они были бы непонятны читателям, не знакомым с геометрией древних. Новые методы, ведя наш ум иными путями, сделали большинство этих теорем излишними для нас. Однако мы разделяем мнение Ньютона, Монтукля и Деламбра, что геометрам, пишущим начальные учебники, не дурно, прежде чем браться за перо, внимательно прочесть Эвклида и Архимеда. Они найдут у них метод последовательных выводов, ясность изложения и рассуждения, и в особенности геометрическую строгость, от которой мы все более и более удаляемся, к великому ущербу для науки и преподавания.

Сочинение Об Измерении круга очень коротко. В нем заключается несколько теорем, сопровождаемых доказательствами. Архимед последовательно вписывает и описывает правильные многоугольники в 4, 8, 16, 32 и т. д. сторон, как поступают и теперь, и прибегает к доказательству ad absurdum. Он строже, чем ныне при помощи теории пределов, доказывает, что круг равняется прямоугольному треугольнику, коего одна сторона из образующих прямой угол равна радиусу, а другая равна окружности, развернутой в прямую линию. Он показывает, что окружность равна тройному поперечнику + некоторой части поперечника, содержащейся между 10/71 и 10/70 его долями, то есть что отношение 31/7 больше, а отношение 310/71 меньше настоящего.

Трактат О коноидах и сфероидах довольно велик. Он начинает его следующим письмом:

«Архимед Досифею, привет. В этой книге я посылаю тебе не только доказательства, которые не были мне присланы, но также доказательства других открытых мною теорем, которые долго не давали мне покоя, потому что, исследуя их несколько раз, я нашел в них много трудностей. Вот почему эти теоремы не были выданы вместе с другими. Теперь, тщательно и вновь рассмотрев их, я нашел ускользавшие от меня решения…» и т. д.

В этом довольно длинном письме находятся драгоценные общие данные о состоянии важной части чистой математики во времена Архимеда.

Трактат О коноидах и сфероидах содержит только 34 доказанные теоремы. Это, конечно, не все известное древним геометрам на этот счет. Сочинение Архимеда предполагают существование других, более элементарных, на коих он основывался.

Доказательство этому встречается во многих местах его сочинений. Например, в четвертой части трактата, о коем идет речь, после изложения одного начала он прибавляет: «Это было доказано в Начатках конических сечений». Но до нас не дошли эти Начатки.

В сочинениях, дошедших до нас, заключаются только его собственные открытия. Если он говорит об открытиях других, то ради того, чтобы подтвердить их новыми, своими доказательствами. В древности искусство доказывать достигло великой степени совершенства. Чтобы убедиться в этом, следует прочесть Эвклида, Архимеда и Аполлония Пергейского.

Трактату О спиралях предшествует письмо к Досифею. В нем заключаются 28 теорем. Спиральные линии суть кривые особого порядка. При описании этой части геометрических трудов Архимеда потребовалось бы войти в подробности, которые не могут иметь места в настоящем сочинении. Мы приведем только письмо к Досифею:

«Ты настоятельно просил меня написать доказательства теорем, посланных к Конону. Многие из этих доказательств находятся в книгах, привезенных тебе Ираклием; посылаю тебе другие, не находящиеся там. Не удивляйся, что я столь долго не решался выпустить в свет доказательства этих теорем. Причиной было то, что я желал дать время найти их людям, занимающимся математикой и желавшим заняться этим исследованием. Ибо сколько в геометрии теорем, которых, кажется, нет средства узнать и которые потом становятся очевидными! Конон умер, не успев найти эти доказательства, и оставил теоремы недоказанными. Будь он жив, он, без сомнения, нашел бы их и своими открытиями раздвинул бы границы геометрии. Ибо мы знаем, что этот человек обладал большой сметливостью и способностью к этой науке. Много лет прошло после его смерти, и я не знаю, решал ли кто эти задачи. Я изложу их все одну за другою.

Архимед».

Трактат О равновесии плоскостей, или О их центрах тяжести, содержит две книги. Доказательства опираются на следующие, уже дознанные начала:

«Равные грузы, повешенные на равных длинах, находятся в равновесии.

Равные грузы, повешенные на неравных длинах, не находятся в равновесии, и повешенный на большей перетянет другую.

Если грузы, повешенные на известных длинах, находятся в равновесии…» и т. д.

В первой книге шестое и седьмое положения изложены так: «Соизмеримые или несоизмеримые величины находятся в равновесии, когда они повешены на длинах, которые им обратно пропорциональны…» и т. д.

Во второй книге находится десять теорем, имеющих предметом центр тяжести в параболических отрезках.

Ограничился ли этим Архимед в своих исследованиях насчет центра тяжести? Не потерян ли конец его работы? Или не желал ли он пополнить доказательства уже готовых теорий, которым недоставало строгости? На эти вопросы ответов нет.

В трактате О квадратуре параболы двадцать четыре теоремы. В начале находится довольно длинное письмо Архимеда к Досифею:

«Я открыл эту теорему, – говорит он, – сперва посредством механических соображений, а потом уже посредством геометрических рассуждений…» и т. д.

Нам очень жаль, что мы можем выписывать только немногое из того, что считаем любопытным у Архимеда. Мы можем дать только слабое понятие об его работах. Предмет этого сочинения не имеет другой цели.

В трактате, озаглавленном «Исчисление песка», автор, в противность общему мнению, доказывает, что число морских песчинок не бесконечно:

«Я покажу тебе, – пишет Архимед царю Гелону, – при помощи геометрических доказательств, с которыми ты должен будешь согласиться, что между числами, выставленными нами в книгах, надписанных Зевксиппу, есть такие, которые превосходят число песчинок в объеме, не только равном величине Земли, но даже целой Вселенной…» и т. д.

Затем он приступает к предмету и из своих предположений выводит весьма важные заключения относительно диаметра Земли, Солнца и т. д. Этот трактат очень любопытен. Деламбр разобрал его, ради части, относящейся к астрономии[93].

Трактат О телах, погруженных в жидкость, состоит из двух книг. Архимед исходит из следующей гипотезы: «Полагают, что, вследствие того что природа жидкости такова, что части ее одинаково расположены и непрерывны между собою, та часть, на которую давление меньше, изгоняется тою, на которую оно больше. Всякая часть жидкости претерпевает давление от жидкости, находящейся выше по вертикальному направлению, все равно, будет ли жидкость опускаться, или какая-нибудь причина будет заставлять ее переходить с места на место».

Вот главные положения:

«Поверхность всякой находящейся в покое жидкости шаровидна. Центр этой сферической поверхности есть центр земли.

Если тело, имеющее при равном объеме один и тот же вес с какой-нибудь жидкостью, бросить на эту жидкость, то оно совершенно погрузится в нее, но не спустится на дно.

Если твердое тело, легчайшее жидкости, бросить на эту жидкость, то часть этого тела останется над поверхностью жидкости.

Если