Великая математическая война. Как три блестящих ума сражались за основания математики - Джейсон Сократ Барди Страница 33

я сожалею о случившемся и как же страдаю от этого, – говорит он в своем письме. – Я нахожу непостижимым, как я мог не увидеть этого раньше».

Цермело, вдохновленный всей этой драмой, решает погрузиться в вопрос глубже. Он берется за ту самую проблему, с которой бился Кёниг. Кёниг думал, что сможет доказать, будто несчетное множество «большой бесконечности» 

не может быть вполне упорядоченным, но его доказательство оказалось ошибочным. Ладно, хорошо. Но неудача в доказательстве того, что что-то невозможно, не является окончательным доказательством того, что это возможно. Поэтому после конгресса Цермело решает сесть и доказать, что каждое множество, даже множество вещественных чисел большой бесконечности, действительно может быть вполне упорядочено.

К осени 1904 года Цермело справляется с задачей. Он пишет Гильберту, сообщая, что у него есть доказательство того, что каждое множество может быть вполне упорядочено – его так называемый Wohlordnungssatz (теорема о вполне упорядочении). «Для любого семейства непустых множеств существует соответствие, которое сопоставляет каждому из этих множеств один из его элементов», – пишет он, описывая свой организованный способ выбора, который в конечном счете приведет к его так называемой аксиоме выбора.

Аксиома выбора

Что такое аксиома выбора? Представьте школу, где в каждом классе есть как минимум один, а возможно, и больше учеников (ваши непустые множества), и вы решаете упорядочить все классы, выбрав одного конкретного ученика из каждого кабинета. Это простая аналогия, но Цермело идет дальше, утверждая, что можно применить «функцию выбора», чтобы проделать то же самое для бесконечного множества (каждый класс, который когда-либо был, есть, будет или мог бы быть). Он использует это понятие выбора и бесконечного упорядочения как основу для создания аксиоматической системы теории множеств, делая для теории Кантора больше, чем мог бы сам Кантор.

«В последующие годы, – напишет столетие спустя современный американский математик и эксперт по теории множеств Акихиро Канамори, – базовый каркас, созданный аксиомами Цермело, с их схематичной простотой и открытостью, одержит верх в качестве рабочего фундамента математики». (Как выясняется: Бог есть Бог, математика есть математика, а Цермело есть Цермело.)

Некоторые впечатлены усилиями Цермело в 1904 году. А теперь, годы спустя, после века признания, их число многократно возросло. «Она оказалась настолько удачной, что, за исключением мелких поправок, остается главной базой современной математики», – напишет голландский математик Дирк ван Дален.

Но если сегодня люди снимают шляпы перед Цермело, то в то время… совсем наоборот!

Когда работа Цермело впервые выходит в свет, она вызывает резкую критику. Огонь и ярость. Цермело показывает, что базовые предположения Кантора верны, но его метод вызывает споры. После того как появляется доказательство Цермело, следующий выпуск того же журнала ломится от яростных писем читателей, полных сомнений и готовых оставить после себя выжженную землю.

Самая острая критика прилетела из Парижа, от самого великого Пуанкаре. И он был не один. В те дни ни один немецкий математик не мог забить «слэм-данк», чтобы французский «диванный арбитр» не свистнул фол. Французский математик Феликс Эдуард Жюстен Эмиль Борель также возражает против доказательства Цермело. Оно требует бесконечного итеративного процесса, который он считает абсурдным. «Любой аргумент, предполагающий, что произвольный выбор делается несчетно бесконечное число раз, лежит вне области математики», – пишет он.

Итальянский математик Пеано, работа которого так вдохновила Рассела, тоже возражает против Аксиомы выбора Цермело. Нельзя задать бесконечность произвольных выборов, утверждает он. Невозможно! Цермело отвечает, что Пеано сам себя ограничивает. Математику Пеано он назвал «искусственно изуродованной».

Но, безусловно, самая глубокая критика Цермело в 1904 году исходит от Пуанкаре. Он уже публично критиковал некоторые аспекты теории множеств до международного конгресса. Увидев статью Цермело, он лишь усиливает критику. «Хотя сама аксиома Цермело мне, скорее, симпатична, – пишет Пуанкаре, – его доказательство я отвергаю». Критика Пуанкаре состоит в том, что Цермело использует определения, создающие «порочный круг», поскольку он сначала определяет совокупность, а затем выбирает из нее элементы.

Цермело-бог

После того как Цермело решает ответить на критику и обратиться к оппонентам, он делает это, переработав свое доказательство 1904 года о том, что каждое множество может быть вполне упорядочено. Отталкиваясь от этого, он расширяет сферу деятельности и в 1905 году начинает работу над аксиоматизацией всей теории множеств, следуя тому, что Гильберт сделал с геометрией пятью годами ранее. «Я намерен показать, как вся теория… может быть сведена к нескольким определениям и семи принципам, или аксиомам, которые представляются взаимно независимыми», – говорит Цермело.

Откуда берутся эти определения и принципы, говорит Цермело, он обсуждать не будет. Могут ли они быть доказаны, добавляет он, он не станет пытаться выяснить. «Но я надеюсь, что проделал здесь, по крайней мере, некоторую полезную подготовительную работу для последующих исследований таких более глубоких проблем», – говорит он. Не белоручка, а настоящий пахарь, Цермело сдержал слово. Он публикует свой переработанный труд в 1908 году, и это огромное достижение, как признают сегодня эксперты.

Конечно, некоторые части его работы в 1908 году все еще будут казаться трудными, а некоторые даже заслуживающими опровержения. И люди в то время будут по-прежнему безжалостны в своих оценках. Сам Рассел отвергнет одну часть работы Цермело 1908 года, назвав ее «настолько расплывчатой, что в ней нет никакой пользы». Тем не менее Цермело войдет в историю.

В частности, он определяет набор аксиом, которые мы сегодня называем ZFC. «Z» – в честь Цермело (Zermelo), а также «C» – в честь аксиомы выбора (Choice). (Иными словами, он вносит «Z» и «C» в ZFC, основу современной математики.) Взятые вместе, аксиомы Цермело позволяют математикам порождать множества и манипулировать ими, и они станут незаменимыми – «одержав победу», по словам Канамори.

Но все это будет позже. В 1904 году Рассел знает о прорыве Цермело, но недооценивает его. Критика «порочного круга», выдвинутая Пуанкаре против работы Цермело, сильно бьет по сознанию Рассела. К тому времени он уже глубоко погружен в свою новую книгу с Уайтхедом. Идея порочного круга потрясает его. Он питает огромное уважение к Пуанкаре, и тяжелая критика старшего французского математика действительно заставляет Рассела задуматься – и в конечном итоге приводит его к базовому концептуальному прорыву в «Основаниях математики».

Мануте Бол античной философии

Путь, по которому идет Рассел, – это путь, впервые проложенный тысячи лет назад самым известным лжецом в истории человечества (если не считать Хитрого Дика Никсона). Эпименид Критский – загадочная фигура древнего мира, знаменитая формулировкой «парадокса лжеца», который звучит примерно так: Это утверждение ложно. (Если оно ложно, то оно не ложно; а если не ложно, то ложно.) Едва ли по этому можно понять, насколько крут был Эпименид. Сейчас объясню, что я имею в виду.